۹ عدد مهم و بزرگ در جهان
۹ عدد مهم و بزرگ در جهان
حتی در مقایسه با این اعداد شگفت‌انگیز، درک بی‌نهایت آسان‌تر است؛ چرا که همیشه وجود دارد و در جریان است. جان بوروین (ریاضیدان کاربردی در دانشگاه نیوکاسل در استرالیا)، در سال ۲۰۱۳ گفت هنگامی که اعداد از یک حدی به بعد رشد می‌کنند، اوضاع عجیب و غریب می‌شود. بوروین می‌گوید: «ما اعداد در این مقیاس را نمی‌توانیم درک کنیم». در این مطلب برخی از شگفت‌انگیزترین اعداد را شرح می‌دهیم؛ از تریلیون گرفته تا عدد گراهام.
بزرگ بودن، مفهومی نسبی است
ما معمولاً به بودجه شخصی خودمان فکر می‌کنیم و بنابراین سقف بدهی ۳۱٫۴ تریلیون دلاری ایالات متحده برایمان بسیار غیرقابل تصور است. اسکات آرونسون (دانشمند علوم کامپیوتر) می‌گوید: «این عدد در مقایسه با تعداد اتم‌های جهان، کاملاً ناچیز است».
به منظور تلاش برای درک اعداد بزرگ، افراد معمولاً دست به قیاس می‌زنند. به عنوان مثال، مشهور است که کارل سیگان سن جهان را به طول یک سال تشبیه کرد که در آن انسان‌ها فقط در چند ساعت آخر شب سال نو پدیدار می‌شوند.
فرضیه ریمان
فرضیه ریمان بیان می‌کند که تنها صفر غیر بدیهی تابع ریمان، ۰٫۵ است و هر کسی که بتواند این فرضیه را ثابت کند، برندهٔ یک میلیون دلار جایزه خواهد بود.
این فرضیه نخستین بار در سال ۱۸۵۹ بیان شد و یکی از بزرگترین حدس‌های حل نشده در ریاضیات است و هرکس که بتواند آن را حل کند یک میلیون دلار جایزه خواهد گرفت. فرضیه این است که بخش واقعی هر صفر غیر بدیهی یک تابع خاص، برابر با ۰٫۵ است.
بوروین می‌گوید: «این بزرگترین سوال حل‌نشده در ریاضیات است؛ به طوری که اگر بتوانید آن را حل کنید، به طور حتم نام‌تان تا ۱۰ هزار سال دیگر نیز سر زبان‌ها خواهد بود».
این فرضیه، اگر درست باشد، پیامدهای مهمی برای توزیع اعداد اول دارد (یعنی اعدادی که
بر هیچ چیز دیگری غیر از خودشان یا یک بخشپذیر نیستند). بورین می‌گوید ریاضیدانان برای آزمودن این فرضیه، به دنبال اعداد اول بسیار بزرگ می‌گردند – اعداد اول بزرگتر از ۱۰ به توان ۳۰. بوروین می‌گوید با اینکه این فرضیه ممکن است انتزاعی به نظر برسد، اما پیامدهای مهمی در دنیای واقعی و فیزیکی دارد.
او اظهار می‌دارد: «اعداد اول در هر چیزی که برای رمزگذاری استفاده می‌کنیم تعبیه شده‌اند. همه این الگوریتم‌های رمزگذاری با استفاده از ویژگی‌های اعداد اول طراحی شده‌اند که فکر می‌کنیم درست هستند اما از آن مطمئن نیستیم».
کیهان
تلسکوپ فضایی جیمز وب ناسا ژرف‌ترین و واضح‌ترین تصویر فروسرخ از کیهان دور تا به امروز را ثبت کرده است. تحقیقات نشان می‌دهند که جهان حاوی ۱۰ به توان ۸۲ اتم است.
در زمان ارشمیدس فیلسوفان به این فکر می‌کردند که چند ذره کوچک می‌تواند در جهان جای بگیرد. ارشمیدس تخمین زد که حدود ۱۰ به توان ۶۳ دانه شن می‌تواند جهان را پر کند.
هنری مندل (مورخ علمی) می‌گوید که ارشمیدس از یک سری تخمین‌های بسیار غیردقیق استفاده کرد. البته آنطور که پیداست، او با وجود تقریب غیردقیقش چندان هم بیراه نمی‌گفت. برآوردهای کنونی تعداد کل اتم‌های جهان را نزدیک به ۱۰ به توان ۸۲ نشان می‌دهند.
ضریب کیهانی
زمانی که انیشتین معادلات نسبیت خود را درک کرد، ثابت کوچکی به نام ثابت کیهانی را وارد کرد تا نشان دهد که جهان در حال سکون است. اگرچه او بعداً وقتی فهمید جهان در حال انبساط است، این ثابت را کنار گذاشت، اما معلوم شد که نابغه فیزیک ممکن است چیز مهمی کشف کرده باشد: دانشمندان بر این باورند که ثابت کیهانی، که برابر است با ۱۰ به توان منهای ۱۲۲، سرنخ‌هایی از انرژی تاریک را نشان می‌دهد.
البته ثابت کیهانی دردسر بزرگی برای دانشمندان بوده است، زیرا پیش‌بینی‌ها با اندازه‌گیری‌های ثابت به میزان ۱۲۰ مرتبه متفاوت است و در طول سال‌ها، فیزیکدانان سعی کرده‌اند این اختلاف را با دستکاری سایر عناصر (از جمله چگونگی تغییر جرم ذرات در طول زمان) توضیح دهند.
هرکول و هیدرا
در سال ۱۹۸۲، دو ریاضیدانان به نام‌های جف پاریس و لوری کربی معمایی را به این صورت مطرح کردند: تصور کنید هرکول با هیدرایی در مبارزه است که سرهایش مانند درخت رشد می‌کنند.
اگر یک سر او قطع شود، تعداد معینی از سرهای هیولای اسطوره‌ای رشد می‌کنند که البته چند قانون بر آنها حکمفرما است. هرکول به طرز شگفت‌انگیزی
همیشه در نهایت بر هیدرا پیروز می‌شود و تمام سرهای هیدرا را از بین می‌برد.
اما حتی اگر هرکول بسیار باهوش هم باشد و کارآمدترین استراتژی را انتخاب کند، بیش از یک گوگولپلکس سر (یا ۱۰ تا به توان ۱۰ به توان ۱۰۰) روی هیدرا رشد خواهند کرد.
اعداد اول مرسن
مارین مرسن یک راهب در قرن هفدهم و چندین تخصص داشت؛ اما بیشتر به دلیل توصیف دنباله‌ای از اعداد اول که اکنون به نام او نامگذاری شده است، مشهور است.
اعداد اول مرسن، دسته‌ای از اعداد هستند که نرخ رشد بسیار بالایی دارند. این اعداد اول برابر هستند با ۲ به توان یک عدد اول که یک واحد از آن کم می‌شود.
با اینکه چند عدد اول مرسن (یعنی ۳، ۷ و ۳۱) کوچک هستند، اما در ادامه بسیار سریع رشد می‌کنند و فوق‌العاده بزرگ می‌شوند. تا حدود سال ۱۹۵۱، تنها ۱۲ عدد مرسن شناخته شده بود؛ اما اکنون ما ۴۸ تا از آنها را می‌شناسیم.
دانشمندان برای استفاده از این اعداد غول‌پیکر، از جست‌وجوی بزرگ اینترنتی اعداد اول مرسن (GIMPS) بهره می‌گیرند که از قدرت رایانشی یا محاسباتی هزاران کاربر اینترنت برای جستجوی اعداد اول گریزان استفاده می‌کند.
بزرگترین عدد اول شناخته‌شده در سال ۲۰۱۸ توسط رایانه‌ای که توسط پاتریک لاروش متخصص فناوری اطلاعات در فلوریدا اداره می‌شود، کشف شد. عدد ۲ به توان ۸۲٬۵۸۹٬۹۳۳ منهای ۱، دارای ۸۲٬۸۶۲٬۰۴۸ رقم است که بیش از رکورردار قبلی که توسط GIMPS کشف شده بود، ۱٫۵ میلیون رقم بیشتر دارد.
یک تریلیون مثلث
مثلث‌های قائم‌الزاویه‌ای که اضلاع آنها همگی اعداد صحیح یا کسری هستند، مثلث متجانس و مساحت مثلث‌های مذکور نیز اعداد متجانس نام دارند. این اعداد می‌توانند خیلی خیلی سریع رشد کنند.
حدود هزار سال پیش، کرجی (ریاضیدان ایرانی) برای نخستین بار این پرسش را مطرح کرد که چند عدد متجانس وجود وجود دارد. اما منظور از اعداد متجانس چیست؟ این اعداد برابر هستند با مساحت مثلث‌های قائم‌الزاویه با ضلع‌های اعداد صحیح یا کسری. بنابراین یک مثلث با طول اضلاع ۳، ۴ و ۵، مساحتی برابر با ۶ خواهد داشت و از این رو، ۶ یک عدد متجانس است.
اما هزار سال طول کشید تا صد عدد نخست متجانس کشف شدند. با این حال، تا سال ۲۰۰۹، ابرکامپیوترها توانستند ۳٬۱۴۸٬۳۷۹٬۶۹۴ عدد متجانس کشف کنند. برخی از این اعداد به قدری غول‌پیکر هستند که اگر ارقام آنها به صورت اعشاری نوشته می‌شد، می‌توانستیم آنها را تا کره ماه امتداد دهیم و دوباره
به زمین برگردانیم!
بوروین می‌گوید: «اعداد غول‌پیکر پیامدهای جالبی در ذخیره‌سازی داده‌ها دارند، زیرا آنقدر بزرگ هستند که یک پرتو گامای سرگردان می‌تواند بیت‌های این اعداد را مختل کرده و آنها را دچار اشتباه کند».
عدد گراهام
همه اعدادی که تا به حال معرفی کردیم، در مقایسه با عدد گراهام رنگ می‌بازند. این عدد به قدری بزرگ است که تلاش برای به خاطر سپردن تمام ارقام آن، سر شما را به یک سیاهچاله تبدیل می‌کند!
این عدد زمانی بزرگترین عددی بود که در اثبات ریاضی و در پاسخ به یک معمای ساده در مورد نحوه تخصیص افراد به مجموعه خاصی از کمیته‌ها با چند محدودیت استفاده شده بود.
با اینکه ریاضیدانان مطمئن هستند که حداقل ۱۳ نفر برای حل مسئله مورد نیاز است، اما در دهه ۱۹۷۰، رونالد گراهام (ریاضیدان و شعبده‌باز) استنباط کرد که تعداد افراد باید کمتر از تعداد گراهام باشد. محاسبه ساده این عدد ۶۴ مرحله طول می‌کشد و شامل ضرب تعداد بسیار زیادی عدد ۳ در یکدیگر است.
هیچ راهی برای نوشتن این عدد با استفاده از نماد علمی وجود ندارد. در عوض باید با یک سری از پیکان‌های رو به بالا که نشان‌دهنده توان هستند، نوشته شود. بعداً گراهام نشان داد که یک کران بالا برای این معما بسیار کوچکتر از عدد گراهام است، اما این عدد نیز همچنان بزرگ است.
عدد TREE(3)
با اینکه عدد گراهام یکی از بزرگترین اعداد ارائه‌شده برای اثبات یک مسئله ریاضی خاص بود، اما ریاضیدانان از آن زمان حتی اعداد بزرگتری را نیز کشف کرده‌اند.
در سال ۱۹۹۸، هاروی فریدمن (منطق‌دان آمریکایی) معمایی را مطرح کرد و در آن می‌پرسید چه دنباله‌ای از حروف نیاز است تا پارامترهای خاصی برای تکرار الگوی حروف را ارائه کند. با اینکه جواب این مسئله بی‌نهایت نیست، اما عددی بسیار غول‌پیکر است.
دنباله‌ای از درختان ریشه‌دار با سه برچسب قرمز، سبز و آبی را در نظر بگیرید. n-امین درخت در این دنباله دارای حداکثر n رأس است و هیچ درختی در درخت بعدی دنباله، قابل بازنشانی نیست. در این صورت، TREE(3) به عنوان طولانی‌ترین طول ممکن چنین دنباله‌ای تعریف می‌شود.
عددی که فریدمن آن را معرفی کرد و TREE(3) نام دارد، با ایجاد برج‌های دوتایی عظیم به توان دو با استفاده از چیزی به نام توابع آکرمن محاسبه می‌شود. برای درک مقیاس این عدد غول‌آسا، چهارمین توابع آکرمن مستلزم رساندن ۲ به توان دنباله‌ای از ارقام ۲ به تعداد ۶۵٬۵۶۳ است.
اما TREE(3) از این هم بسیار بزرگتر است؛ به قدری بزرگ که عدد گراهام را در مقایسه با آن، چیزی در حد یک غبار کوچک است.
فریدمن در مقاله خود می‌نویسد: «در سطوح بالاتر، دیگر بزرگی مفهوم خود را از دست می‌دهد؛ چرا که نمی‌توان میان دو عدد از لحاظ سطح بزرگی تمایز قائل شد».
