جادوی انتگرال؛ وقتی ریاضی مهار بوستر سوپرهوی اسپیس‌ایکس را ممکن کرد
جادوی انتگرال؛ وقتی ریاضی مهار بوستر سوپرهوی اسپیس‌ایکس را ممکن کرد
به‌کمک انتگرال می‌توانیم حرکت اجسام مختلف را توصیف کنیم. به‌عنوان مثال، با داشتن نمودار تغییرات سرعت جسم برحسب زمان، به‌راحتی می‌توانیم مسافت طی شده توسط جسم را در مدت زمانی مشخص به‌دست آوریم. یافتن احتمال متغیرهای تصادفی و پیوسته یکی دیگر از کاربردهای مهمِ انتگرال است. متغیرهای تصادفیِ پیوسته، مانند دما، هر مقداری را می‌توانند داشته باشند. از این ویژگی می‌توانیم در حل بسیاری از مسائل آمار و احتمال استفاده کنیم.
در فیزیک، انتگرال در زمینه‌های متعددی به کار می‌رود. به‌عنوان مثال، در محاسبه‌ی مرکز جرم و مرکز ثقلِ اجسام پیچیده مانند خودروها و ساختمان‌ها و به‌منظور بهینه‌سازی پایداری و توزیع وزن از انتگرال استفاده می‌کنیم. همچنین، انتگرال کاربرد مهمی در مکانیک سیالات برای محاسبه‌ی جریان، فشار و حجم مایعات دارد.
انتگرال، همچنین نقش بسیار مهمی را در پیشرفت علوم کامپیوتر ایفا می‌کند. انتگرال به ما کمک می‌کند تا تغییرات پیوسته و تدریجی را در سیستم‌های مختلف اندازه‌گیری و تحلیل کنیم. درنتیجه، این توانایی، انتگرال را به ابزاری قدرتمند در حوزه‌های مختلف کامپیوتر تبدیل کرده است.
به‌کمک انتگرال می‌توانیم حرکت اجسام مختلف را توصیف کنیم
پردازش تصویر یکی از مهم‌ترین کاربردهای انتگرال است. فرض کنید به‌دنبال تشخیص لبه‌های یک تصویر یا برخی ویژگی‌های خاصِ آن هستیم، به‌کمک انتگرال می‌توانیم تغییرات شدت نور را در نقاط مختلف تصویر اندازه‌گیری و لبه‌ها را شناسایی کنیم. این کار به کامپیوتر کمک می‌کند تا درک بهتری از تصاویر مختلف داشته باشد.
در گرافیک کامپیوتری، به‌کمک انتگرال می‌توانیم تصاویر سه‌بعدی و جلوه‌های واقع‌گرایانه ایجاد کنیم. به‌عنوان مثال، برای محاسبه‌ی نور و سایه‌ها در صحنه‌ای سه‌بعدی، به محاسبه‌ی انتگرال روی سطوح مختلف نیاز داریم. همچنین، در یادگیری ماشین، انتگرال در بهینه‌سازی مدل‌ها و یادگیری از داده‌ها نقش مهمی دارد. بسیاری از الگوریتم‌های یادگیری ماشین براساس محاسبه‌ی انتگرال‌ها کار می‌کنند. به‌عنوان مثال، در شبکه‌های عصبی، از انتگرال برای محاسبه‌ی خطا و بهینه‌سازی وزن‌های شبکه استفاده می‌شود.
کاربرد شگفت‌انگیز معادلات دیفرانسیل در زندگی روزمره
تا اینجا در مورد کاربردهای مشتق و انتگرال به‌صورت جداگانه در حوزه‌های مختلف صحبت کردیم، اما باید بدانیم این دو مبحث از یکدیگر جدا نیستند و ارتباط تنگاتنگی با یکدیگر دارند. این ارتباط تنگاتنگ را می‌توانیم در معادلات دیفرانسیل و حل آن‌ها مشاهده کنیم. به‌کمک این معادلات می‌توانیم بفهمیم طبیعت چگونه کار می‌کند.
معادلات دیفرانسیل مبحثی پیچیده در ریاضیات است و به‌راحتی نمی‌توانیم تمام معادلات به‌دست آمده را حل کنیم، اما حداقل اطلاعات جالبی را از آن‌ها به‌دست می‌آوریم. به‌عنوان مثال، برای به‌دست آوردن مدلی برای رشد جمعیت، حرکت سیالات، توصیف حرکت جسم پس از وارد شدن نیرویی مشخص به آن و رفتار امواج الکترومغناطیسی، از معادلات دیفرانسیل استفاده می‌کنیم.
به کمک معادلات دیفرانسیل می‌توانیم بفهمیم طبیعت چگونه کار می‌کند
حتی برای توصیف حرکت ماهواره‌هایی که به دور زمین حرکت می‌کنند یا موشک‌هایی که به فضا پرتاب می‌کنیم، نباید از نقش حیاتی معادلات دیفرانسیل غافل شویم. معادلات دیفرانسیل نیز مشابه معادلات ساده‌ی جبری که هنگام تحصیل در دبیرستان آموخته‌ایم، معنا و داستان منحصربه‌خود را دارند. برای حل این معادلات از انتگرال و مشتق، همزمان استفاده می‌کنیم.
اکنون اجازه دهید کمی وارد جزئیات شویم و پس از بررسی مثالی از کاربرد معادلات دیفرانسیل در زندگی واقعی، کاربرد این معادلات را هنگامِ پرتاب موشک به فضا و حرکت آن در فضا به‌صورت کلی با یکدیگر بررسی کنیم.
احتمالاً سریال Numb3rs بین سال‌های ۲۰۰۵ تا ۲۰۱۰ را تماشا کرده باشید. در یکی از صحنه‌های سریال، مجری قانون به‌دنبال زوجی است که هنگام سفر به‌دور آمریکا، مرتکب جرم‌های متعددی شده‌اند. پلیس FBI حرکت این زوج را روی نقشه دنبال می‌کند، اما هنوز موفق به دستگیری آن‌ها نشده است. در ادامه‌ی سریال، ریاضی‌دان‌ها با بررسی مسیرِ پیموده شده توسط زوجِ مجرم، به‌کمک منحنی‌ای به‌نام «منحتی تعقیب» (Pursuit Curve) سعی در پیش‌بینی مقصد آن‌ها دارند.
